Інформація
Реєстраційний номер
0214U007984,
Назва роботи
Якісна поведінка розв'язків дисипативних еволюційних рівнянь з частковими похідними складеного типу
Керівник роботи
Чуєшов Ігор Дмитрович,
Дата реєстрації
19-01-2015
Організація виконавець
Харківський національний університет імені В.Н. Каразіна
Опис
Об'єктами дослідження НДР є початково-крайові задачі для наступних систем: зв'язаних нелінійних стохастичних рівнянь; моделей, що описують коливання зв'язаних систем "нелінійна пластинка + рідина" (для випадків тільки поперечних коливань пластинки та сумісних поперечних та продольних коливань пластинки); квазілініного рівняння Кірхгоффа з нелінійною диссипацією; системи Шредінгера-Бусінеска. Мета роботи - вивчити явища синхронізації для зв'язаних нелінійних стохастинчих рівнянь на основі поняття інерціального многовиду; довести коректну розв'язність систем, що описують сумісні коливання пластинки та рідини та вивчити асимптотичну поведінку цих систем; вивчити коректну розв'язність та асимптотичну поведінку, дослідити структуру атрактору для квазілініного рівняння Кірхгоффа та системи Шредінгера-Бусінеска. Дослідження проведено в рамках теорії динамічних систем. На першому етапі була доведена коректна розв'язність початково-крайової задачі для квазілінійного рівняння Кірхгоффа з нелінійною дисипацією для початкових даних із відповідного функціонального простору, отримані відповідні апріорні оцінки та доведена енергетична рівність. Було доведено існування компактного глобального атрактору для цієї моделі, у випадку надкритичної нелінійності - в "посилених" фазових просторах. У субкритичному випадку цей результат було поліпшено: встановлено властивість збіжності по відношенню до сильної топології фазового (енергетичного) простору. Крім того, в цьому випадку доведено існування фрактального експоненціального атрактору і отримано умови для існування скінченої множини визначальних функціоналів. На другому етапі була вивчена динаміка ряду зв'язаних систем "пластинка + рідина". Перша система складається з тривимірної системи рівнянь Нав'є-Стокса, яка лінеарізована навколо певного типу потоку Пуазейля у необмеженій області, та класичного (можливо нелінійного) рівняння для пружної пластини з поперечним зміщенням на пружній плоскій частині краю. Було доведено, що ця проблема породжує еволюційну півгрупу на відповідному фазовому просторі і встановлено існування компактного скінченновимірного глобального атрактору для цієї півгрупи. Також було доведено, що ця півгрупа є експоненціально стійкою С0 - півгрупою лінійних операторів у повністю лінійному випадку. Оскільки у цій системі не передбачалося жодного типу механічного демпфіровання, це означає, що розсіювання енергії в потоці рідини, яке відбувається через в'язкість, достатньо, щоб стабілізувати систему. Аналогічні результати було отримано для зв'язаної системи в обмеженій області, що складається з лінеаризованих рівнянь Нав'є-Стокса і класичного нелінійного еластичного рівняння пластини для поперечного переміщення на пружній плоскій частині краю. У цьому випадку результати виявилися вірними при більш слабких умовах на систему.. Також була розглянута більш загальна задача про коректність і асимптотичну поведінку зв'язаної системи, що складається з лінеаризованих тривимірних рівнянь Нав'є-Стокса в обмеженій області, та класичного нелінійного повного рівняння фон Кармана пологої оболонки, що описує як поперечні, так і бічні переміщення на пружній частині краю. Крім цього, було взято до уваги інерцію обертання елементів оболонки. Показано, що ця система рівнянь має глобальний розв'язок та породжує динамічну систему у відповідному фазовому просторі. Також було доведено існування компактного глобального атрактору для цієї динамічної системи у разі наявності дисипативного доданку в поперечній компоненті та спеціальній структурі зовнішніх сил. На третьому етапі досліджувалися система Шредінгера-Бусінеска та система зв'язаних нелінійних стохастичних рівнянь. Для системи Шредінгера-Бусінеска будо доведено коректну розв'язність у відповідних функціональних просторах та вивчені умови на нелінійність, за яких система має компактний глобальний атрактор. Також було доведено принцип редукції (до рівняння Бусінеска) у випадку спеціальної структури зовнішніх сил. Для системи зв'язаних нелінійних стохастичних рівнянь були встановлені умови на оператори, що входять до рівнянь, та випадкові доданки (типу "білий шум"), за яких система є коректно розв'язною та асимптотично синхронізується. Був побудований відповідний випадковий многовид, що описує характер синхронізації. Також були визначені додаткові умови на випадкові доданки, за яких система синхронізується експоненціально швидко. Метод дослідження теоретичні побудови. Робота носить теоретичний характер. Її результати можуть знайти застосування при прогнозуванні довгочасної поведінки різноманітних вібраційних машин. Розвинуті методи можуть бути використані для дослідження інших систем зв'язаних рівнянь.
Опис продукції
В роботі розроблені нові методи вивчення асимптотичної поведінки зв'язаних систем математичної фізики для таких задач: система зв'язаних нелінійних стохастичних рівнянь, системи "нелінійна пластинка + рідина" (для поперечних коливань (як для обмеженої, так і для необмеженої області, яку займає рідина) та коливань в довільному напрямку); система Шредінгера-Бусінеска; квазілінійне рівняння Кірхгоффа з нелінійною дисипацією.