Search academic texts

Registration Number

0419U004364, Candidate dissertation

Title

Ideals of bimodal singularities of plain curves

Author

Skuratovskii Ruslan V.,

popup.head Drozd Yurii A.
popup.opponent Hlazunov Mykola M.
popup.opponent Shapochka Ihor V.

Status

Кандидат фізико-математичних наук, 01.01.06, Алгебра і теорія чисел

Date

08-10-2019

Description

Вивчення ідеалів кілець є класичним розділом комутативної алгебри, який розпочався під впливом теорії чисел і алгебраїчної геометрії, а у ХХ сторіччі у роботах Е. Нетер, Е. Артіна, А. Шпайзера та інших сформувався як самостійний напрямок. Якщо для цілозамкнених неособливих) кілець ця теорія набула повноти й завершеності, то для кілець із особливостями залишається багато невирішених питань. Зокрема, це питання про кількість і будову класів ідеалів. Перші результати тут одержали Д. Фаддєєв і З. Боревич для квадратичних кілець, вони ж і Х. Басс дослідили ширший і загальніший клас кілець, які відомі зараз як бассові. А саме, науковці встановили, що для таких кілець будь-який ідеал є обертовним (над своїм кільцем множників). Надалі Д. Фаддєєв показав, що для кубічних кілець кожен ідеал локально є або обертовним, або дуальним до обертовного, а Ю. Дрозд узагальнив цей результат для широкого класу кілець. Г. Якобінський, Ю. Дрозд і В. Ройтер дали критерій того, що кільце має скінченну кількість класів ідеалів. У роботах Ґ.-М. Гройеля, Г. Кнеррера, Ю. Дрозда й А. Шапперта були встановлені зв’язки цих питань зі класифікацією особливостей за В. Арнольдом, зокрема показано, що особливості зі скінченною кількістю класів ідеалів – це ті, які домінують прості особливості у розумінні В. Арнольда, а особливості з однопараметричними сім’ями ідеалів – це ті, які домінують унімодальні або бімодальні особливості. Подальші дослідження в цьому напрямку, яким і присвячена дисертація, є перспективними й важливими як для самої теорії ідеалів, так і для теорії особливостей і суміжних розділів алгебраїчної геометрії. Основні результати дисертації пов’язані зі класифікацією кубічних кілець і особливостей зі двопараметричними сім’ями ідеалів. У першому розділі дано огляд теорії ідеалів і наведено відомі технічні результати, які використовуються в роботі. У другому розділі розглядаються кубічні кільця, тобто розширення дедекіндового кільця, які містяться в кубічному розширенні його поля часток. Саме тут дано повний опис локальних кубічних кілець, а також їхніх ідеалів. Зокрема у геометричному випадку, тобто для локальних кілець алгебраїчних кривих над алгебраїчно замкненим полем, обчислено максимальну кількість параметрів у сім’ях ідеалів.