Search academic texts

Registration Number

0820U100608, PhD dissertation

Title

Nonlocal multipoint in time problem for evolutionary pseudodifferential equations with analytic symbols

Author

Shyrokovskykh Alona Oleksandrivna,

popup.head Gorodetskii Vasyl
popup.opponent Lopushanska Halyna
popup.opponent Слюсарчук Василь Юхимович
popup.review Pukalskyi Ivan Dmyrtovych
popup.review Drin Yaroslav

Status

Доктор філософії, 111, Математика та статистика. Математика

Date

18-12-2020

Description

Дисертація присвячена дослідженню коректної розв'язності та властивостей розв'язків нелокальної багатоточкової за часом задачі для еволюційних псевдодиференцiальних рівнянь в просторах типу S та W. У Р.1 наведено огляд праць, які стосуються результатів, наведених у дисертації, є близькими за змістом та методами досліджень, зокрема, аналізуються результати, пов'язані з нелокальними задачами для диференціально-операторних рівнянь та рівнянь з частинними похідними. У Р.2 дано огляд результатів дисертації та описано методи, якими вони отримуються. У Р.3, який складається з чотирьох підрозділів, досліджується нелокальна багатоточкова за часом задача для еволюційних рівнянь з псевдодиференціальними операторами, побудованими за символами, які допускають аналітичне продовження в певну область комплексної площини (клас таких операторів містить і оператори Бесселя дробового диференціювання). Наведено допоміжні факти, які стосуються топологічної структури просторів типу S та основних операцій у таких просторах, а також основні означення та твердження, що стосуються відображень із значеннями в лінійному топологічному просторі або об'єднанні таких просторів (3.1, 3.2). Досліджено властивості фундаментального розв'язку нелокальної багатоточкової за часом задачі для еволюційного рівняння з псевдодиференціальним оператором, який діє в просторах типу S (3.3). Доведено коректну розв'язність зазначеної задачі у випадку, коли початкова функція є узагальненою функцією типу розподілів, знайдено зображення розв'язку у вигляді згортки фундаментального розв'язку з початковою функцією, встановлено, що розв'язок володіє властивістю локалізації - властивістю локального покращення збіжності (3.4): якщо узагальнена початкова функція на деякій відкритій множині збігається з неперервною функцією, то відповідна нелокальна умова задовольняється не в слабкому сенсі (тобто в просторі узагальнених функцій типу ультрарозподілів), а в сенсі рівномірної збіжності на кожному компакті, який міститься в заданій області. У Р.4 досліджено еволюційне рівняння з гармонійним осцилятором та функціями від такого оператора. Наведено основні означення та твердження, які стосуються просторів основних та узагальнених елементів, пов'язаних з невід'ємним самоспряженим оператором в гільбертовому просторі, даються основні відомості, які стосуються функцій Ерміта та формальних рядів Фур'є-Ерміта (4.1, 4.2). У 4.3 наведено елементи операційного числення, пов'язаного з невід'ємним самоспряженим оператором, спектр якого є суто дискретним. У просторі узагальнених функцій типу ультрарозподілів, які ототожнюються з формальними рядами Фур'є-Ерміта, визначається абстрактна операція згортки, за допомогою якої невід'ємні самоспряжені оператори із суто дискретними спектрами трактуються як оператори згортки. За допомогою такого підходу у 4.4 доведено коректну розв'язність нелокальної багатоточкової за часом задачі для еволюційного рівняння з гармонійним осцилятором та функціями від такого оператора у випадку, коли початкова функція є узагальненою функцією і ототожнюється з певним формальним рядом Фур'є-Ерміта. Досліджено властивості фундаментального розв'язку, знайдено зображення розв'язку у вигляді згортки фундаментального розв'язку з початковою функцією. У Р.5 досліджено еволюційні рівняння з операторами диференціювання та Бесселя нескінченного порядку, які діють в просторах типу W. Наведено основні відомості, що стосуються просторів типу W та просторів, топологічно спряжених з ними (5.1, 5.2). Встановлено коректну розв'язність нелокальної багатоточкової за часом задачі з псевдодиференціальним оператором, який будується за сталим символом за допомогою перетворення Фур'є і трактується як оператор диференціювання нескінченного порядку; початкова функція є елементом простору узагальнених функцій типу W' (5.3). При цьому попередньо досліджено властивості фундаментального розв'язку зазначеної задачі, знайдено зображення розв'язку у вигляді згортки фундаментального розв'язку з початковою функцією. У 5.4 аналогічні результати одержано у випадку, коли псевдодиференціальний оператор будується за допомогою перетворення Бесселя і трактується як оператор Бесселя нескінченного порядку. Досліджено еволюційне рівняння з псевдодиференціальним оператором, побудованим за змінним символом. Дано означення фундаментального розв'язку нелокальної багатоточкової за часом задачі для такого еволюційного рівняння та досліджено властивості фундаментального розв'язку. Доведено розв'язність нелокальної багатоточкової за часом задачі в класі обмежених неперервних на R функцій (5.5).