Search academic texts

Information × Registration Number 0825U001844, PhD dissertation Status Доктор філософії Date 30-06-2025 popup.evolution o Title Construction and analysis of homogeneous approximations of nonlinear control systems Author Daria Andreieva, popup.head Svitlana Ignatovych popup.opponent Kateryna Khalina popup.opponent Oleksandr Zuyev popup.review Maksym Bebiia popup.review Oleksii Piven’ Description Дисертаційну роботу присвячено дослідженню нелінійних систем, що є лінійними за керуванням, з одновимірним і багатовимірним виходом та їхніх однорідних апроксимацій. Перший розділ дисертаційної роботи присвячений огляду відомих результатів з теорії нелінійних керованих систем, які є основою для подальших досліджень. Другий розділ присвячений дослідженню систем з одновимірним виходом, зокрема, знаходженню однорідної апроксимації мінімальної реалізації ряду. Вводяться та обговорюються ряди ітерованих інтегралів, які представляють системи з виходом, і досліджуються мінімальні реалізації реалізовних рядів. Отриманий такий класифікаційний результат: будь-яка градуйована підалгебра Лі скінченної корозмірності є кореневою підалгеброю Лі мінімальної реалізації деякого одновимірного ряду, а розмірність цієї реалізації дорівнює корозмірності підалгебри Лі. Доведення конструктивне: показано, як побудувати відповідний ряд. Третій розділ присвячений однорідній апроксимації одновимірних рядів ітерованих інтегралів і задачі швидкодії для систем з одновимірним виходом. Спочатку досліджуються однорідні ряди і їх мінімальні реалізації; це включає аналіз кореневих підалгебр Лі мінімальних реалізацій та відповідних лівих ідеалів. Зокрема, наведений спосіб побудови відповідного лівого ідеалу як максимального (у сенсі включення) лівого ідеалу, ортогонального однорідному ряду. Далі вводиться поняття однорідної апроксимації одновимірного ряду: однорідною апроксимацією називається сума членів мінімального порядку. Досліджено зв'язок алгебраїчних властивостей вихідного ряду і його однорідної апроксимації, зокрема, зв'язок між їх кореневими підалгебрами Лі, а також наводиться класифікація таких пар підалгебр Лі. Крім того, у розділі 3 досліджено задачу швидкодії для однорідних рядів або, що те ж саме, однорідних систем з однорідним одновимірним виходом, запропоновано метод визначення мінімального часу досягнення заданого стану системи за допомогою аналізу відповідного функціоналу на множині допустимих керувань. Далі досліджено апроксимацію в сенсі швидкодії. Доведено, що коли значення виходу прямує до нуля, оптимальний час для вихідної системи та оптимальний час для її однорідної апроксимації асимптотично еквівалентні. Крім того, доведено, що за певних умов оптимальні керування однорідної апроксимації наближають оптимальні керування вихідної системи. Це підтверджує ефективність однорідної апроксимації при розв’язанні задач керування динамічними системами. Нарешті, задача оптимальної швидкодії для однорідного одновимірного ряду розглядається як задача оптимізації у нескінченновимірному просторі, що дозволяє запропонувати інший шлях розв'язання задачі швидкодії. Четвертий розділ присвячено розвиненню отриманих результатів на випадок реалізовних рядів довільної розмірності або, що те ж саме, систем з багатовимірним виходом. Розглядаються формальні ряди з векторними коефіцієнтами . Спочатку вводиться поняття мінімальної частини ряду і формальної функції, що визначена за допомоги тасуючого добутку. Доведено, що лівий ідеал, який відповідає ряду, ортогональний мінімальній частині будь-якої формальної функції від ряду. Вводиться поняття однорідної апроксимації ряду з коефіцієнтами довільної вимірності, яке узагальнює як випадок одновимірного виходу, так і випадок тривіального виходу; запропонований метод побудови однорідної апроксимації. Це визначення приводить до поняття алгебраїчної еквівалентності рядів: ми кажемо, що два ряди є алгебраїчно еквівалентними, якщо вони мають одну й ту саму однорідну апроксимацію. З іншого боку, якщо два ряди мають один і той самий максимальний лівий ідеал, вони називаються слабо алгебраїчно еквівалентними. Показано, що якщо два ряди алгебраїчно еквівалентні, то вони слабо алгебраїчно еквівалентні. Однак ряди можуть бути слабо алгебраїчно еквівалентними, але при цьому не бути алгебраїчно еквівалентими, що демонструють наведені приклади. Ключові слова: нелінійні керовані системи, системи з виходом, дійсно-аналітичні вектор-функції, ряди ітерованих інтегралів, формальні степеневі ряди, вільна асоціативна алгебра, дужки Лі, реалізовність, однорідна апроксимація, коренева підалгебра Лі, лівий ідеал, керованість, задача швидкодії, задача оптимізації, диференціальне рівняння. Registration Date 2025-05-21 popup.nrat_date 2025-05-21 Close