Registration Number
0823U100615, PhD dissertation
Status
Доктор філософії
Date
06-09-2023
popup.evolution
o
Title
Non-additive measures and their application in equilibrium theory
Author
Khrystyna O. Sukhorukova,
popup.head Mykhailo M. Zarichnyi
popup.opponent Oleh R. Nykyforchyn
popup.opponent Oleksandr G. Savchenko
popup.review Oleg V. Gutik
popup.review Taras M. Radul
popup.rada
Ivan Franko National University of Lviv
Description
Дисертація присвячена дослідженню класів неадитивних мір, породжених трикутними нормами *-мір). Такі міри означені як функціонали на просторах неперерівних функцій зі значеннями в одиничному відрізку. Простори *-мір наділяються слабкою* топологією і в цій топології утворюють компактні гаусдорфові простори. Показана функторіальність конструкції простору *-мір у категорії компактних гаусдорфових просторів та їх неперервних відображень. Для просторів *-мір побудовано аналог відображення Мілютіна, відомого для просторів ймовірнісних мір та ідемпотентних мір, що дозволяє зводити загальний випадок до нульвимірного. Ідемпотентна математика — частина математики, в якій одна зі звичайних арифметичних операцій в R замінюється ідемпотентною операцією (наприклад, максимум). Результати та методи ідемпотентної математики знаходять численні застосування в різних частинах математики, а також в інформатиці та інших дисциплінах. Метою дисертацiйної роботи є дослiдження трикутних норм ∗ в категорiї компактних гаусдорфових просторiв; дослiдження просторiв ∗-мiр з компактними носiями на ультраметричних (неархiмедових) просторах; дослiдження структури монади, породженої функтором ∗-мiр з компактними носiями на категорiї ультраметричних просторiв i нерозтягуючих вiдображень, i встановлення деяких фундаментальнi властивостi таких монад; означення iгор в ∗-значних стратегiях i доведення неперервностi функцiй виплат для цих iгор для застосування в теорiї рiвноваги. У дослідженнях проблематики дисертації застосовуються методи теорії функторів у топологічних категоріях, методи загальної топології, ідемпотентної математики, теорії категорій та теорії рівноваги. У розділі “Простори *-мір на компактних гаусдорфових просторах” для кожної трикутної норми * ми запроваджуємо поняття *-міри як функціонала на просторі неперервних функцій C(X, I). Множина усіх *-мір на компактному гаусдорфовому просторі наділяється слабкою* топологією. Показано, що утворений простір *-мір є компактним гаусдорфовим. Ця конструкція визначає коваріантний функтор на категорії компактних гаусдорфових просторів і неперервних відображень. Також побудовано аналог відображення Мілютіна, вперше означеного для ймовірнісних мір, для *-мір та напiвнеперервних згори ємностей. Крім того, побудовано опис *-мір як замкнених множин добутку простору на одиничний сегмент з певними властивостями. Доведено, що множина ∗-мiр зi скiнченними носiями всюди щiльна в просторi всiх ∗-мiр. Одним з основних результатів розділу є опис просторів *-мір як гіперпросторів множин з певними властивостями. Це дає змогу порівнювати між собою простори *-мір для різних трикутних норм *.
У розділі “Простори *-мір з компактними носіями на ультраметричних просторах” розглядається ультраметричний випадок (нагадаємо, що метрика називається ультраметрикою, якщо вона задовольняє сильну нерівність трикутника), побудована ультраметризація просторів *-мір з компактними носіями на ультраметричних просторах. Показано, що утворена конструкція визначає коваріантний функтор у категорії ультраметричних просторів та нерозтягуючих відображень. Він є аналогом для *-мір функторів, означених для ймовірнісних мір, ідемпотентних мір та напівнеперервних зверху ємностей з компактними носіями. У дисертації доведено, що цей функтор є локально нерозтягуючим. Також доведено, що простір *-мір з компактними носіями на повному ультраметричному просторі є повним ультраметричним простором. Одним з основних результатів цього розділу є збереження функтором *-мір класу повних ультраметричних просторів. Розділ “Монади, породжені функторами *-мір” присвячений структурі монади, що визначається функторами *-мір на категорії Ultr ультраметричних просторів і нерозтягуючих відображень. Встановлено деякі фундаментальні властивості таких монад. Наведено приклади неізоморфних монад для різних трикутних норм *. Зокрема, така структура дозволяє визначити тензорний добуток *-мір у категорії Ultr. Для цього розглянуто максимальну ультраметрику на добутку ультраметричних просторiв. У свою чергу, ми визначаємо ігри в *-значних стратегіях на ультраметричних просторах і доводимо неперервність функцій виплат для цих ігор. Нарешті, доведено, що будь-яку рівновагу для ігор у *-значних стратегіях можна апроксимувати майже рівновагами, що складаються з *-мір зі скінченними носіями.
Registration Date
2023-09-18
popup.nrat_date
2024-12-04 / 2026-07-01
