Search academic texts

Registration Number

0823U101429, PhD dissertation

Title

Algebraic constructions in linear differential equations and in the theory of implicit linear difference equations

Author

Anna Goncharuk,

popup.head Sergiy Gefter
popup.opponent Sergiy Chuiko
popup.opponent Marharyta Myroniuk
popup.review Valerii Korobov
popup.review Yury Dyukarev

Status

Доктор філософії, 111, Математика

Date

10-01-2024

Description

В дисертації розглянуті лінійні диференціальні рівняння n-того порядку над кільцем формальних степеневих рядів з коефіцієнтами з деякого комутативного кільця і неявні різницеві рівняння n-того порядку над комутативним кільцем. Досліджується питання існування і єдиності розв'язку таких рівнянь і знаходження цього розв'язку. Питання цілком розв’язано для диференціального рівняння з поліноміальною неоднорідністю та неявного різницевого рівняння з фінітною неоднорідністю. Сформульовані достатні умови існування і єдиності розв'язку диференціального рівняння у кільці формальних степеневих рядів з коефіцієнтами, що належать повному кільцю нормування поля з неархімедовим нормуванням, де неоднорідність не є поліномом. Також знайдений цей розв’язок у вигляді суми ряду, збіжного за неархімедовим нормуванням. Результат уточнено для рівняння над кільцем цілих чисел. Введено спеціальне поняття згортки формального ряду Лорана з від'ємними степенями і формального степеневого ряду. За допомогою цього поняття знайдений деякий аналог фундаментального розв'язку оператора для розглянутого рівняння, і показано, що за умови єдиності і існування розв’язку, він має вигляд згортки фундаментального розв’язку відповідного оператора з неоднорідністю. Сформульовані достатні умови існування і єдиності розв'язку неявного лінійного різницевого рівняння над деякими класами повних кілець, в тому числі над кільцем цілих p-адичних чисел та кільцем формальних степеневих рядів у випадку, коли неоднорідність рівняння не є фінітною. Також знайдено цей розв’язок у вигляді суми ряду, збіжного за неархімедовим нормуванням. Для випадку неповного кільця, за деяких умов на коефіцієнти, доведено що за умови існування розв’язку цей розв’язок є єдиним і дорівнює сумі розгляданого ряду. Доведені достатні умови для існування і єдиності розв’язку у вигляді формального степеневого ряду для неявного різницевого рівняння, коефіцієнти якого є поліномами. Для неявного різницевого рівняння першого порядку над кільцем поліномів доведені додаткові результати, які дозволяють знаходити розв'язки конкретних рівнянь у кільці поліномів або доводити, що таких розв’язків не існує. Розглянуто лінійне неявне різницеве рівняння з неоднорідністю, що має вигляд квазіполінома з коефіцієнтами, що належать кільцю, знайдені умови на кільце, для якого існує єдиний розв’язок такого рівняння. Розглянуто операторне рівняння першого порядку з узагальненим оператором лівого зсуву над кільцем цілих чисел, для якого диференціальне і різницеве рівняння першого порядку є частковими випадками. Для цього рівняння доведений критерій існування і єдиності розв'язку, і знайдений розв'язок у вигляді суми ряду, збіжного за a-адичною топологією. Всі розглянуті в дисертації рівняння можна записати у вигляді нескінченної лінійної системи. Показано, що за умов єдиності і існування розв'язку рівняння, розв'язок такої системи, отриманий за допомогою правила Крамера, збігається з єдиним розв'язком цього рівняння.