Пошук академічних текстів

Інформація × Реєстраційний номер 0823U101429, Дисертація доктора філософії На здобуття Доктор філософії Дата захисту 10-01-2024 Статус Запланована Назва роботи Алгебраїчнi конструкцiї в лiнiйних диференцiальних рiвняннях та в теорiї неявних лiнiйних рiзницевих рiвнянь Здобувач Гончарук Анна Борисівна, Керівник Гефтер Сергій Леонідович Опонент Чуйко Сергій Михайлович Опонент Миронюк Маргарита В’ячеславівна Рецензент Коробов Валерій Іванович Рецензент Дюкарев Юрій Михайлович Опис В дисертації розглянуті лінійні диференціальні рівняння n-того порядку над кільцем формальних степеневих рядів з коефіцієнтами з деякого комутативного кільця і неявні різницеві рівняння n-того порядку над комутативним кільцем. Досліджується питання існування і єдиності розв'язку таких рівнянь і знаходження цього розв'язку. Питання цілком розв’язано для диференціального рівняння з поліноміальною неоднорідністю та неявного різницевого рівняння з фінітною неоднорідністю. Сформульовані достатні умови існування і єдиності розв'язку диференціального рівняння у кільці формальних степеневих рядів з коефіцієнтами, що належать повному кільцю нормування поля з неархімедовим нормуванням, де неоднорідність не є поліномом. Також знайдений цей розв’язок у вигляді суми ряду, збіжного за неархімедовим нормуванням. Результат уточнено для рівняння над кільцем цілих чисел. Введено спеціальне поняття згортки формального ряду Лорана з від'ємними степенями і формального степеневого ряду. За допомогою цього поняття знайдений деякий аналог фундаментального розв'язку оператора для розглянутого рівняння, і показано, що за умови єдиності і існування розв’язку, він має вигляд згортки фундаментального розв’язку відповідного оператора з неоднорідністю. Сформульовані достатні умови існування і єдиності розв'язку неявного лінійного різницевого рівняння над деякими класами повних кілець, в тому числі над кільцем цілих p-адичних чисел та кільцем формальних степеневих рядів у випадку, коли неоднорідність рівняння не є фінітною. Також знайдено цей розв’язок у вигляді суми ряду, збіжного за неархімедовим нормуванням. Для випадку неповного кільця, за деяких умов на коефіцієнти, доведено що за умови існування розв’язку цей розв’язок є єдиним і дорівнює сумі розгляданого ряду. Доведені достатні умови для існування і єдиності розв’язку у вигляді формального степеневого ряду для неявного різницевого рівняння, коефіцієнти якого є поліномами. Для неявного різницевого рівняння першого порядку над кільцем поліномів доведені додаткові результати, які дозволяють знаходити розв'язки конкретних рівнянь у кільці поліномів або доводити, що таких розв’язків не існує. Розглянуто лінійне неявне різницеве рівняння з неоднорідністю, що має вигляд квазіполінома з коефіцієнтами, що належать кільцю, знайдені умови на кільце, для якого існує єдиний розв’язок такого рівняння. Розглянуто операторне рівняння першого порядку з узагальненим оператором лівого зсуву над кільцем цілих чисел, для якого диференціальне і різницеве рівняння першого порядку є частковими випадками. Для цього рівняння доведений критерій існування і єдиності розв'язку, і знайдений розв'язок у вигляді суми ряду, збіжного за a-адичною топологією. Всі розглянуті в дисертації рівняння можна записати у вигляді нескінченної лінійної системи. Показано, що за умов єдиності і існування розв'язку рівняння, розв'язок такої системи, отриманий за допомогою правила Крамера, збігається з єдиним розв'язком цього рівняння. Дата реєстрації 2023-11-23 Додано в НРАТ 2024-01-20 Закрити