Registration Number
0823U101915, PhD dissertation
Status
Доктор філософії
Date
01-02-2024
popup.evolution
o
Title
Mixed problems for parabolic systems in generalized Sobolev spaces
Author
Oleksandr Diachenko,
popup.head Valerii M. Los
popup.opponent Oleksandr Murach
popup.opponent Halyna Lopushanska
popup.review Petro Samusenko
popup.review Aleksandr Shvets
popup.rada
National Technscal University of Ukraine "Kiev Polytechnic Institute".
Description
Дисертація присвячена дослідженню характеру розв’язності та регулярності розв’язків лінійних мішаних (тобто початково-крайових) задач для параболічних за Петровським систем диференціальних рівнянь другого порядку в шкалах узагальнених гільбертових анізотропних просторів Соболєва. Ці простори дають широке узагальнення анізотропних версій класичних гільбертових просторів Соболєва, які зазвичай застосовуються до параболічних рівнянь. Розглядаються крайові умови Діріхле та загальні крайові умови першого порядку.
В анізотропних просторах Соболєва і Гельдера параболічні мішані задачі досліджено у працях М. С. Аграновича, М. І. Вішика, В. О. Солоннікова, O. О. Ладиженської, Н. М. Уральцевої, Ж.-Л. Ліонса, Е. Мадженеса, С. Д. Ейдельмана, С. Д. Івасишена, М. В. Житарашу, Я. А. Ройтберга та інших математиків (1962–1998). Ними було встановлено низку фундаментальних результатів про коректну розв'язність (за Адамаром) скалярних і матричних параболічних початково-крайових задач на відповідних парах вказаних просторів як додатних, так і від'ємних (стосовно просторів Соболєва) порядків.
В останні роки В. М. Лось, В. А. Михайлець і О. О. Мурач (2013–2021) розробили теорію розв’язності скалярних параболічних мішаних задач (для одного диференціального рівняння) в узагальнених гільбертових анізотропних просторах Соболєва. Регулярність (інакше кажучи, гладкість) приналежних цим просторам розподілів задана парою дійсних чисел і радіальною функцією, яка повільно змінюється на нескінченності та характеризує додаткову регулярність стосовно основної гладкості, заданої числами. Завдяки функціональному параметру шкала цих просторів тонше градуйована, ніж класичні шкали просторів Соболєва і Гельдера. Крім того, вона отримується методом квадратичної інтерполяції з функціональним параметром пар гільбертових анізотропних просторів Соболєва, що дозволяє використовувати класичні результати про характер розв'язності параболічних мішаних задач у соболєвських просторах. Використання узагальнених просторів Соболєва дозволило встановити нові результати про коректну розв'язність скалярних параболічних початково-крайових задач і отримати тонкі й точні умови регулярності розв’язків у порівнянні з класичними результатами.
Відмітимо, що різні простори узагальненої гладкості виявилися корисними в теорії рівнянь з частинними похідними L. Hormander (1983), F. Nicola та L. Rodino (2010), B. Paneah (2000) та теорії випадкових процесів N. Jacob (2001, 2002, 2005). Зокрема, монографія В. А. Михайлеця і О. О. Мурача (2014) представляє теорію еліптичних крайових задач для ізотропних аналогів просторів, що використовуються в дисертації.
Параболічні мішані задачі для систем диференціальних рівнянь другого порядку мають велике прикладне значення, оскільки служать математичними моделями багатьох природничих явищ.
Отже, дослідження мішаних задач для параболічних за Петровським систем диференціальних рівнянь другого порядку в шкалах узагальнених просторів Соболєва є актуальним і досить непростим завданням. Його трудність пов’язана, зокрема, з тим, що умови узгодження правих частин мішаної задачі для систем диференціальних рівнянь є істотно складнішими, ніж для одного рівняння.
Результати дисертації, які визначають її наукову новизну:
1. Встановлено теорему про коректну розв’язність неоднорідних лінійних параболічних початково-крайових задач для систем диференціальних рівнянь другого порядку на придатних парах узагальнених гільбертових анізотропних просторах Соболєва, тобто доведено, що оператори, породжені вказаними задачами, встановлюють ізоморфізми на цих парах.
2. Знайдено достатні умови глобальної (в усьому циліндрі аж до його межі) регулярності розв’язків досліджуваних задач в узагальнених просторах Соболєва.
3. Знайдено достатні умови локальної (в заданій частині циліндра) регулярності розв’язків зазначених задач в узагальнених просторах Соболєва.
4. Отримано нові достатні умови, за яких вказані узагальнені частинні похідні розв’язків цих задач є неперервними в заданій частині циліндра.
5. Знайдено нові достатні умови класичності узагальнених розв’язків дос-ліджуваних задач.
Отримані в дисертації результати можуть бути застосовані у дослідженні широкого класу практичних задач, для яких параболічні системи служать математичними моделями, зокрема, у вивченні процесів тепломасообміну, біологічної та хімічної кінетики. Розроблена методика може бути використана у дослідженні параболічних мішаних задач для систем диференціальних рівнянь довільних порядків.
Registration Date
2023-12-20
popup.nrat_date
2024-02-06 / 2026-07-01
