Search academic texts

Registration Number

0824U003411, PhD dissertation

Title

Inverse problem of recovering the shape of a graph and generalizations of Ambarzuvian’s theorem

Author

Anastasiia A. Railian,

popup.head Viacheslav M. Pyvovarchyk
popup.opponent Volodymyr A. Mykhailets
popup.opponent Volodymyr O. Zolotarov
popup.review Olha M. Boldarieva
popup.review Olha P. Boiko

Status

Доктор філософії, 111, Математика

Date

15-11-2024

Description

У вступi визначено обєкт i предмет дослiдження, обгрунтовано актуальнiсть теми дисертацiйного до- слiдження, сформульовано мету i завдання, визначено методи дослiдження, його наукову новизну, практичну значимiсть, прокоментовано апробацiю, описано структуру дисертацiйної роботи та її основний змiст. У другому роздiлi коротко описана iсторiя обернених спектральних задач Штурма-Лiувiлля на iнтервалi, на зiрковому графi, на довiльному метричному деревi i на простому звязному графi. Зазначено, що iснують двi постановки обернених задач на графах. В першiй постановцi даними є форма графу та спектр або спектри задач Штурма-Лiувiлля на цьому графi, треба знайти потенцiали на ребрах. У другiй постановцi оберненої задачi вiдомий спектр (або спектри), а треба знайти форму графу. В данiй дисертацiйнiй роботi розглянутi оберненi задачi у першiй постановцi (роздiл 3) та у другiй постановцi (роздiл 4, роздiл 5). У третьому роздiлi розвязана, по-перше, пряма задача з трьома спектрами, яку можна розглядати як задачу на графi P3. Це задача про взаємне розташування власних значень задачi Штурма-Лiувiлля на iнтервалi з умовою Неймана на одному кiнцi та умовою Дiрiхле на другому кiнцi та власних значень задач, породженим тим же рiвнянням Штурма-Лiувiлля на лiвiй половинi цього iнтервалу та на правiй половинi цього iнтервалу. Доведено, що власнi значення задачi на всьому iнтервалi чергуються з елементами об’єднання спектрiв задач на половинах iнтервалу. Також, в цьому роздiлi розв’язана обернена задача за трьома спектрами, тобто задача вiдновлення потенцiалу рiвняння Штурма-Лiувiлля, виходячи з вiдомих спектра задачi Штурма-Лiувiлля на цьому iнтервалi та спектрiв задач на половинах цього iнтервалу. Доведено, що якщо власнi значення задачi на всьому iнтервалi чергуються з елементами обєднання спектрiв задач на половинах цього iнтервалу у строгому сенсi, то розвязок такої оберненої задачi єдиний. Розглянуто особливий випадок, в якому для знаходження потенцiалу достатньо знати не три вищезгаданi спектри, а тiльки два та одне власне значення з третього. Цей випадок є аналогом ситуацiї в якiй справедлива класична теорема Амбарцумяна. У четвертому та п’ятому роздiлах розглянутi задачi вiдновлення форми графiв, виходячи зi спектрiв крайових задач. У четвертому роздiлi розглянута спектральна задача, породжена рiвняннями Штурма-Лiувiлля на простих зв’язних рiвнобiчних метричних графах зi стандартними умовами у вершинан. Пiд стандартними умовами маємо крайовi умови Неймана на висячих вершинах та умови неперервностi та Кiрхгофа у внутрiшнiх вер- шинах. Знайденi асимптотичнi формули для власних значень таких задач, причому показано, що в той час, як головний член асимптотики, добре вiдомий, як вейлiвський (див. рiвняння (4.11) нижче), залежить тiльки вiд довжини ребра та кiлькостi ребер, другi члени асимптотики є рiзними для рiзних пiдпослiдовностей спектра. Коефiцiєнти при других членах асимптотики, як це доведено в роботi, взаємнооднозначно пов’язанi з власними значеннями нормованого Лапласiану цього графу i не залежать вiд потенцiалiв на ребрах графу (мається на увазу, що цi потенцiали є дiйсними L2-функцiями). Це означає, що отриманi з експерименту другi коефiцiєнти у пiдпослiдовностях, з яких складається спектр, дають можливiсть знайти власне значення дискретного Лапласiану графа. Далi задача звелася до проблеми вiдновлення форми графа, виходячи з власних значень дискретного Лапласiану (та вiдомої кiлькостi ребер графу, яку можна знайти з вейлiвської формули для першого члена). Розглянуто всi простi зв’язнi графи кiлькiсть вершин у яких не перевищує п’яти. Знайдено визначники їх нормованих Лапласiанiв i порiвняно мiж собою тi з них, котрi мають однакову кiлькiсть ребер. Виявилось, що всi вони рiзнi. Це означає, що серед простих зв’язних рiвнобiчних графiв з кiлькiстю вершин не бiльше п’яти немає коспектральних. Тут, пiд коспектральними маються на увазi неiзоморфнi графи з однаковим спектром задачi Штурма-Лiувiлля зi стандартними умовами у вершинах. Вiдомо, що iснує пара коспектральних графiв з шiстьома вершинами. Отже, отриманий результат не можна поширити на графи з кiлькiстю вершин бiльше п’яти. Окремо розглянуто випадок дерев. Для рiвнобiчних дерев доведено, що, якщо кiлькiсть вершин не перевищує восьми, то визначники всiх дискретних Лапласiанiв рiзнi, тобто не iснує коспектральних у нашому сенсi графiв серед рiвнобiчних дерев з кiлькiстю вершин ≤ 8. Вiдомо, що iснує пара коспектральних графiв з дев’ятью вершинами. Отже, нащ результат не можна поширити на випадок дерев з кiлькiстю вершин бiльше восьми. Для знаходження форми графу виходячи з визначника дискретного Лапласiану слiд скористатися тим, що графам зображеним на рисунку 3 вiдповiдають характеристичнi многочлени, тобто визначники дискретних Лапласiанiв наведенi на сторiнках 47-48. Деревам, зображеним на рисунках 4 та 5 вiдповiдають характеристичнi многочлени, представленi на сторiнках 48-50.