Пошук академічних текстів

Інформація × Реєстраційний номер 0824U003411, Дисертація доктора філософії На здобуття Доктор філософії Дата захисту 15-11-2024 Статус Захищена Назва роботи Обернена задача знаходження форми гра- фу та узагальнення теореми Амбарцумяна Здобувач Райлян Анастасія Андріївна, Керівник Пивоварчик Вячеслав Миколайович Опонент Mихайлець Володимир Андрійович Опонент Золотарьов Володимир Олексійович Рецензент Болдарєва Ольга Миколаївна Рецензент Бойко Ольга Павлівна Опис У вступi визначено обєкт i предмет дослiдження, обгрунтовано актуальнiсть теми дисертацiйного до- слiдження, сформульовано мету i завдання, визначено методи дослiдження, його наукову новизну, практичну значимiсть, прокоментовано апробацiю, описано структуру дисертацiйної роботи та її основний змiст. У другому роздiлi коротко описана iсторiя обернених спектральних задач Штурма-Лiувiлля на iнтервалi, на зiрковому графi, на довiльному метричному деревi i на простому звязному графi. Зазначено, що iснують двi постановки обернених задач на графах. В першiй постановцi даними є форма графу та спектр або спектри задач Штурма-Лiувiлля на цьому графi, треба знайти потенцiали на ребрах. У другiй постановцi оберненої задачi вiдомий спектр (або спектри), а треба знайти форму графу. В данiй дисертацiйнiй роботi розглянутi оберненi задачi у першiй постановцi (роздiл 3) та у другiй постановцi (роздiл 4, роздiл 5). У третьому роздiлi розвязана, по-перше, пряма задача з трьома спектрами, яку можна розглядати як задачу на графi P3. Це задача про взаємне розташування власних значень задачi Штурма-Лiувiлля на iнтервалi з умовою Неймана на одному кiнцi та умовою Дiрiхле на другому кiнцi та власних значень задач, породженим тим же рiвнянням Штурма-Лiувiлля на лiвiй половинi цього iнтервалу та на правiй половинi цього iнтервалу. Доведено, що власнi значення задачi на всьому iнтервалi чергуються з елементами об’єднання спектрiв задач на половинах iнтервалу. Також, в цьому роздiлi розв’язана обернена задача за трьома спектрами, тобто задача вiдновлення потенцiалу рiвняння Штурма-Лiувiлля, виходячи з вiдомих спектра задачi Штурма-Лiувiлля на цьому iнтервалi та спектрiв задач на половинах цього iнтервалу. Доведено, що якщо власнi значення задачi на всьому iнтервалi чергуються з елементами обєднання спектрiв задач на половинах цього iнтервалу у строгому сенсi, то розвязок такої оберненої задачi єдиний. Розглянуто особливий випадок, в якому для знаходження потенцiалу достатньо знати не три вищезгаданi спектри, а тiльки два та одне власне значення з третього. Цей випадок є аналогом ситуацiї в якiй справедлива класична теорема Амбарцумяна. У четвертому та п’ятому роздiлах розглянутi задачi вiдновлення форми графiв, виходячи зi спектрiв крайових задач. У четвертому роздiлi розглянута спектральна задача, породжена рiвняннями Штурма-Лiувiлля на простих зв’язних рiвнобiчних метричних графах зi стандартними умовами у вершинан. Пiд стандартними умовами маємо крайовi умови Неймана на висячих вершинах та умови неперервностi та Кiрхгофа у внутрiшнiх вер- шинах. Знайденi асимптотичнi формули для власних значень таких задач, причому показано, що в той час, як головний член асимптотики, добре вiдомий, як вейлiвський (див. рiвняння (4.11) нижче), залежить тiльки вiд довжини ребра та кiлькостi ребер, другi члени асимптотики є рiзними для рiзних пiдпослiдовностей спектра. Коефiцiєнти при других членах асимптотики, як це доведено в роботi, взаємнооднозначно пов’язанi з власними значеннями нормованого Лапласiану цього графу i не залежать вiд потенцiалiв на ребрах графу (мається на увазу, що цi потенцiали є дiйсними L2-функцiями). Це означає, що отриманi з експерименту другi коефiцiєнти у пiдпослiдовностях, з яких складається спектр, дають можливiсть знайти власне значення дискретного Лапласiану графа. Далi задача звелася до проблеми вiдновлення форми графа, виходячи з власних значень дискретного Лапласiану (та вiдомої кiлькостi ребер графу, яку можна знайти з вейлiвської формули для першого члена). Розглянуто всi простi зв’язнi графи кiлькiсть вершин у яких не перевищує п’яти. Знайдено визначники їх нормованих Лапласiанiв i порiвняно мiж собою тi з них, котрi мають однакову кiлькiсть ребер. Виявилось, що всi вони рiзнi. Це означає, що серед простих зв’язних рiвнобiчних графiв з кiлькiстю вершин не бiльше п’яти немає коспектральних. Тут, пiд коспектральними маються на увазi неiзоморфнi графи з однаковим спектром задачi Штурма-Лiувiлля зi стандартними умовами у вершинах. Вiдомо, що iснує пара коспектральних графiв з шiстьома вершинами. Отже, отриманий результат не можна поширити на графи з кiлькiстю вершин бiльше п’яти. Окремо розглянуто випадок дерев. Для рiвнобiчних дерев доведено, що, якщо кiлькiсть вершин не перевищує восьми, то визначники всiх дискретних Лапласiанiв рiзнi, тобто не iснує коспектральних у нашому сенсi графiв серед рiвнобiчних дерев з кiлькiстю вершин ≤ 8. Вiдомо, що iснує пара коспектральних графiв з дев’ятью вершинами. Отже, нащ результат не можна поширити на випадок дерев з кiлькiстю вершин бiльше восьми. Для знаходження форми графу виходячи з визначника дискретного Лапласiану слiд скористатися тим, що графам зображеним на рисунку 3 вiдповiдають характеристичнi многочлени, тобто визначники дискретних Лапласiанiв наведенi на сторiнках 47-48. Деревам, зображеним на рисунках 4 та 5 вiдповiдають характеристичнi многочлени, представленi на сторiнках 48-50. Дата реєстрації 2024-11-21 Додано в НРАТ 2024-11-21 Закрити