Registration Number
0824U003684, PhD dissertation
Status
Доктор філософії
Date
26-02-2025
popup.evolution
o
Title
Qualitative properties of solutions of degenerate elliptic and parabolic equations with singular lower terms
Author
Yevhen S. Zozulia,
popup.head Skrypnik Igor I.
popup.opponent Stanislav O. Chaichenko
popup.opponent Mykola M. Bokalo
popup.review Olga V. Nesmelova
popup.review Savchenko Mariia O.
popup.rada
Institute of Applied Mathematics and Mechanics National Academy of Science of Ukraine
Description
Задачі, пов'язані з дослідженням властивостей розв'язків диференціальних рівнянь з частинними похідними, привертають увагу багатьох авторів протягом останніх кількох десятиліть. У нашому дисертаційному дослідженні ми зосередились на нелінійних рівняннях дивергентного типу, що містять нелінійність у головній частині рівняння.
Зокрема, дана дисертаційна робота присвячена дослідженню якісних властивостей розв’язків трьох параболічних рівнянь, а саме:
- рівняння пористого середовища з ваговими коефіцієнтами, які є представниками класів Маккенхаупта, та із сингулярним молодшим членом;
- рівняння з p-лапласіаном, що містить вагові коєфіцієнти класів Маккенхаупта та сингулярний молодший член;
- рівняння пористого середовища з ваговим абсорбційним членом.
В представленій роботі для перших двох рівнянь особливу увагу зосереджено на питаннях поточкової оцінки, неперервності та нерівності Гарнака, а для третього рівняння на отриманні оцінок типу Келлера-Оссермана.
Дисертаційна робота складається з анотацій українською та англійською мовами, вступу, чотирьох розділів, загальних висновків, списку використаних джерел і додатку зi списком публiкацiй автора за темою дисертацiї.
У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертації, визначено мету, завдання, об’єкт та предмет дослідження, вказано методи дослідження, сформульовано наукову новизну, теоретичне та про публікації, особистий внесок здобувача, апробацію результатів дисертації та зв’язок з науково-дослідними роботами.
Перший розділ присвячений огляду та аналізу літератури, історичному розвитку та сучасному стану досліджуваної проблеми. Наведено результати, що стали вже класичними і результати, отримані останнім часом.
У другому розділі досліджено узагальнені розв'язки рівняння пористого середовища з ваговими коефіцієнтами та сингулярним молодшим членом.
Для такого рівняння доведено нерівність Качіополлі. Визначено та введено ваговий параболічний потенціал Рісса для правої частини рівняння, що надало можливість отримати поточкові нижню і верхню оцінки слабких розв’язків. Причому доведення проводилось уніфіковано, стосовно виродженого та сингулярного випадків.
У третьому розділі наведено дослідження узагальнених розв'язків рівняння з p-лапласіаном. Для слабких розв'язків такого рівняння доведено нерівність Качіополлі. Визначено та вивчено ваговий параболічний потенціал для Вольфа для правої частини рівняння, що надало можливість отримати поточкову верхню оцінку слабких розв’язків для виродженого випадку.
У четвертому розділі розглянуто якісні властивості слабких розв'язків вагового рівняння пористого середовища з ваговим абсорбційним членом. Головними результатами розділу є теорема 4.1, де доведено виконання нерівності Гарнака для невід'ємних розв'язків рівняння, теорема 4.2, у якій отримані апріорні оцінки типу Келлера-Оссермана, теорема 4.3, що є лемою типу Де Джорджі для рівняння пористого середовища з абсорбцією.
Наша стратегія доведення основних тверджень є подібною до стратегії Ді Бенедетто. Однак, через структуру досліджуваних нами рівнянь, ітераційну техніку типу Де Джорджі використовувати не можна. Натомість, в дисертаційному дослідженні ми запропонували ітераційний метод Кілпелайнен-Мали, адаптований до рівнянь пористого середовища та еволюційних рівнянь з p-лапласіаном. Крім того, для вирішення поставлених завдань у дисертаційній роботі застосовані: метод локальних енергетичних оцінок, метод внутрішнього масштабування Ді Бенедетто, метод точних поточкових оцінок розв'язків типу «нелінійного потенціалу» який був розвинутий І.І. Скрипніком для параболічних рівнянь.
Registration Date
2024-12-24
popup.nrat_date
2024-12-24 / 2026-07-01
