Registration Number
0825U000768, PhD dissertation
Status
Доктор філософії
Date
17-04-2025
popup.evolution
.
Title
Boundary value problems for evolution equations with degeneration over a time variable
Author
Yaroslav O. Slonovskyi,
popup.head Volodymyr S. Il'kiv
popup.opponent Ivan R. Tymkiv
popup.opponent Oleh M. Buhrii
popup.review Zinovii M. Nytrebych
popup.review Ihor P. Medynskyi
popup.rada
Lviv Polytechnic National University
Description
Дисертаційна робота присвячена дослідженню розв'язності некласичних задач з локальними багатоточковими умовами, задач з умовами Ніколетті та задач з нелокальними двоточковими умовами за виділеною змінною та умовами $2\pi$-періодичності за рештою змінних для диференціального рівняння із частинними похідними типу Ейлера. Інтерес дослідників до таких задач зумовлений як потребою побудови загальної теорії крайових задач для рівнянь із частинними похідними, так і тим, що локальні багатоточкові та нелокальні задачі виникають при математичному описі низки процесів. У загальному випадку такі задачі є умовно коректними, а дослідження їх розв'язності пов'язане із проблемою малих знаменників. Суть проблеми малих знаменників полягає у тому, що коефіцієнти рядів Фур'є, якими зображуються розв’язки задач, містять знаменники, які можуть ставати як завгодно близькими до нуля для нескінченної кількості індексів підсумовування, це може спричинити розбіжність рядів у відповідних функційних просторах.
У розділі 1 наведено огляд праць, які є близькими до тематики даної дисертації. У розділі 2 описано загальну методику дослідження задач, наведено деякі допоміжні твердження з аналізу і теорії чисел.
У розділі 3 встановлено умови однозначної розв'язності дво- і багатоточкових задач з простими вузлами інтерполяції для рівняння Ейлера другого і високого порядків. Встановлено умови існування єдиного розв'язку (зображеного рядом Фур'є) двоточкових і багатоточкових задач, якщо їх вхідні дані є достатньо гладкими, а послідовності відповідних характеристичних визначників допускають певні оцінки знизу. За допомогою метричного підходу показано, що такі оцінки знизу виконуються для всіх векторів, компонентами яких є параметри задачі (коефіцієнти рівнянь, значення вузлів інтерполяції), крім, можливо, множини векторів нульової або малої міри Лебега. Розглянуто частковий випадок багатоточкової задачі, коли її вузли є логарифмічно рівновіддаленими.
Розділ 4 дисертації присвячено дослідженню задачі Ніколетті для рівняння з частинними похідними типу Ейлера. Встановлено умови коректної розв'язності задачі у просторах функцій зі степеневою та експоненційною поведінкою коефіцієнтів Фур'є. Уперше для рівнянь зі змінними за $t$ коефіцієнтами доведено метричні теореми про оцінки знизу малих знаменників задачі Ніколетті. Побудовано приклади задач, які ілюструють наведені результати.
У розділі 5 розглянуто нелокальну двоточкову задачу для диференціального рівняння з частинними похідними типу Ейлера другого та високого порядків. Отримано умови існування єдиного розв'язку задачі, застосовано метричний підхід для доведення оцінок знизу малих знаменників задачі. Показано, що такі оцінки виконуються для всіх векторів, складених із параметрів задачі, крім множини векторів нульової або малої міри Лебега. Виконання цих оцінок проаналізовано для різних випадків розташування дійсних частин коренів характеристичного рівняння, а також різних випадків розташування вузлів інтерполяції $t_0$, $t_1$.
Результати дисертацiї мають теоретичний характер. Їх можна використати у наступних дослiдженнях задач з локальними багатоточковими умовами, задач з умовами Ніколетті та задач з нелокальними двоточковими умовами за виділеною змінною та умовами $2\pi$-періодичності за рештою змінних для систем рівнянь із частинними похідними типу Ейлера, а також при дослідженні конкретних задач практики, які моделюються розглянутими задачами.
Registration Date
2025-03-07
popup.nrat_date
2025-03-07 / 2026-07-01
