Пошук академічних текстів

Інформація × Реєстраційний номер 0519U000433, Докторська дисертація На здобуття Доктор фізико-математичних наук Дата захисту 04-06-2019 Статус Запланована Назва роботи Симетричні стійкі випадкові процеси та їх перетворення Здобувач Осипчук Михайло Михайлович, Кандидат фізико-математичних наук Керівник Портенко Микола Іванович Консультант Портенко Микола Іванович Опонент Копитко Богдан Іванович Опонент Радченко Вадим Миколайович Опонент Літовченко Владислав Антонович Опис Дисертацію присвячено дослідженню симетричних α-стійких випадкових процесів в евклідовому просторі, пов'язаних з деяким класом псевдодиференціальних рівнянь параболічного типу. Для цих рівнянь побудовано деяку версію теорії потенціалу простого шару. Центральною точкою цієї теорії є аналог класичної теореми про стрибок конормальної похідної потенціалу простого шару. Використовуючи цей результат, будуються фундаментальні розв'язки другої та третьої початково-крайових задач для згаданих рівнянь. Виявляється, що в деяких випадках ці фундаментальні розв'язки є невід'ємними і визначають деякі процеси Маркова – певні перетворення початкового α-стійкого процесу. Наприклад, випадковий процес в евклідовому просторі побудований таким чином, що він описує α-стійкий рух у цьому просторі з липкою мембраною, розташованою на даній поверхні. В інших ситуаціях побудовані фундаментальні розв'язки не визначають жодного випадкового процесу, а лише “псевдопроцес”. Описані результати викладені в другому розділі дисертації. У третьому розділі генератор α-стійкого процесу адитивно збурюється дробовим градієнтом, помноженим на задане векторне поле, що визначається обмеженою або локально необмеженою чи навіть узагальненою функцією. Побудовано відповідні напівгрупи операторів, які виявляються немарковськими. Слід зауважити, що в граничному випадку, α рівне 2, деякі з цих перетворень приводять до процесів Маркова, наприклад, асиметричного вінерового процесу (косого броунівського руху) на дійсній прямій і деяких його багатовимірних аналогів. Четвертий розділ присвячений дослідженню деяких одновимірних процесів Маркова, пов'язаних із симетричним α-стійким процесом. Ці процеси у випадку 1<α<2 виявляються різними, тоді як у випадку α=2 вони збігаються один з одним. Останній, п'ятий, розділ присвячений певним задачам для вінерового процесу (випадок α=2) або більш загальних дифузійних процесів. Зокрема, розв'язані екстремальні задачі, що полягають у побудові переносів для даного вінерового процесу, за умови максимізації локального часу в нулі чи мінімізації часу першого потрапляння в початок координат. Інші задачі, розглянуті в розділі 5, полягають у дослідженні граничної поведінки кількості перетинів фіксованого рівня послідовністю дифузійних процесів на дійсній осі і локального часу в нулі цих процесів. Локальні характеристики процесів розглянутих послідовностей не збігаються до відповідних характеристик граничних процесів. Результати дисертаційної роботи мають теоретичний характер. Вони можуть бути використані в теорії випадкових процесів, в теорії псевдодиференціальних рівнянь, в дослідженнях стохастичних моделей природничих та соціально-економічних явищ. Дата реєстрації 2019-06-04 Додано в НРАТ 2020-04-03 Закрити