Реєстраційний номер
0521U101590, Докторська дисертація
На здобуття
Доктор фізико-математичних наук
Дата захисту
07-05-2021
Статус
Захищена
Назва роботи
Фундаментальні розв’язки задачі Коші для вироджених параболічних рівнянь
Здобувач
Мединський Ігор Павлович, Кандидат фізико-математичних наук
Керівник Івасишен Степан Дмитрович
Консультант Івасишен Степан Дмитрович
Опонент Процах Наталія Петрівна
Опонент Кочубей Анатолій Наумович
Опонент Лопушанська Галина Петрівна
Установа, організація, у вченій раді якої відбудеться/відбувся захист
Львівський національний університет імені Івана Франка
Опис
Дисертаційна робота складається з вступу,
шести розділів, висновків, списку використаних джерел і чотирьох додатків.
У вступі обґрунтовано актуальність теми дослідження, сформульовано мету, завдання, предмет, об'єкт та методи дослідження, наведено наукову новизну, практичне значення отриманих результатів, зв'язок роботи з науковими темами, а також вказано, де апробовані та опубліковані основні результати дисертації.
Розділ 1 Основні поняття та огляд літератури є допоміжним. У підрозділі 1.1 дається означення чотирьох класів вироджених параболічних рівнянь, які вивчаються в дисертації. Клас K1 складають ультрапараболічні рівняння типу Колмогорова. До класу K2 входять рівняння типу Колмогорова довільного порядку. Рівняння з класу K3---\,це рівняння типу рівнянь з класу K1, в яких додатково наявні виродження в початковий момент часу. Класи рівнянь K1, K2 і K3 є природними узагальненням у різних напрямках відомого рівняння дифузії з інерцією А.\,М.\,Колмогорова. До класу K4 належать параболічні за Ейдельманом системи рівнянь векторного порядку і виродженням на початковій гіперплощині. Особливістю рівнянь з цього класу є нерівноправність просторових змінних і наявність виродження на початковій гіперплощині. Наведено умови на коефіцієнти рівнянь з означених класів. Ці умови на коефіцієнти вироджених параболічних рівнянь типу Колмогорова аналізуються і порівнюються з традиційними умовами.
У підрозділі 1.2 для рівнянь з вище означених класів наводиться означення класичного фундаментального розв'язку задачі Коші (ФРЗК), та слабшого Лі-ФРЗК. Класичний метод Леві побудови й дослідження ФРЗК, а також його модифікації, які використовуються у випадку вироджених параболічних рівнянь детально описується в підрозділі 1.3. Зокрема викладено поетапний метод Леві, який використовується у дисертації для побудови класичних ФРЗК для рівнянь з класів K1 --- K3. У підрозділі 1.4 наводиться огляд літературних джерел, в яких вивчались рівняння з означених вище класів, використовувався метод Леві, досліджувались і застосовувались властивості ФРЗК.
Другий розділ має назву Допоміжні відомості. У підрозділі 2.1 наводяться означення і властивості оцінювальних функцій та деяких інтегралів, що містять оцінювальні функції. Для кожного класу рівнянь запроваджена своя оцінювальна функція. Застосування методу Леві передбачає розв'язування інтегральних рівнянь вольтерівського типу із квазірегулярним ядром. Для кожного класу рівнянь доведено леми про існування і оцінки відповідної резольвенти в термінах оцінювальних функцій. Відповідні леми про існування та оцінки розв'язків таких інтегральних рівнянь наведені в підрозділі 2.2. Аналогічно інформація про властивості інтегралів типу похідних від об'ємних потенціалів наводяться у підрозділі 2.3. Ці властивості описуються в термінах належності інтегралу до спеціального вагового простору, в залежності від того, до якого простору належить густина. Для застосування поетапного методу Леві необхідні теореми про властивості й оцінки ФРЗК для допоміжних рівнянь, тобто рівнянь, коефіцієнти яких залежать лише від часової змінної і параметрів з класів K1, K2 і K3 наводяться у підрозділі 2.4.
Поетапний метод Леві складається з трьох етапів, відповідно до кількості груп просторових змінних. На кожному етапі за параметрикс береться ФРЗК, який побудований на попередньому етапі. При цьому потрібно підбирати властивості густини об'ємного потенціалу так, щоб побудований ФРЗК мав потрібні властивості не тільки за часовою і просторовими змінними, але й за параметрами. Для класу K1 це викладено у підрозділах 3.1, 3.2, 3.3. У підрозділі 3.4 отримані оцінки класичного ФРЗК та його похідних застосовуються до встановлення точних оцінок приростів похідних від ФРЗК для побудованого класичного ФРЗК. Також у цьому підрозділі доводиться існування та оцінки Лі-ФРЗК для рівняння з вказаного класу. Аналогічні результати для рівнянь з класів K2 і K3 наведено відповідно у розділах 4 і 5. При цьому найточніші результати одержуються для ультрапараболічних рівнянь типу Колмогорова, тобто рівнянь з класу K1 і K3. Для рівнянь з класу K2 оцінки класичного ФРЗК є менш точними. Це пов'язано зі структурою і властивостями оцінювальної функції, яка має вигляд ряду.
Дата реєстрації
2021-06-01
Додано/оновлено в НРАТ
2021-06-01 / 2026-06-30
