Пошук академічних текстів

Інформація × Реєстраційний номер 0824U003237, Дисертація доктора філософії На здобуття Доктор філософії Дата захисту 17-12-2024 Статус Захищена Назва роботи Геометричні та алгебраїчні властивості бездисперсійного рівняння Нижника Здобувач Вінніченко Олександра Олександрівна, Керівник Бойко Вячеслав Миколайович Керівник Попович Роман Омелянович Опонент Самойленко Юлія Іванівна Опонент Юрик Iван Iванович Рецензент Нестеренко Марина Олександрівна Рецензент Ванєєва Олена Олександрівна Опис У дисертації виконано розширений симетрійний аналіз (дійсного симетричного потенціального) бездисперсійного рівняння Нижника $u_{txy}=(u_{xx}u_{xy})_x + (u_{xy}u_{yy})_y,$ (1) яке також називають бездисперсійним рівнянням Нижника–Новікова–Вєсєлова або навіть бездисперсійним рівнянням Новікова–Вєсєлова. Це рівняння є бездисперсійним аналогом дійсного симетричного потенціального рівняння Нижника. Разом із рівнянням (1) також розглянуто його нелінійне представлення Лакса $v_t=\frac13\left(v_x^3-\frac{u_{xy}^3}{v_x^3}\right)+u_{xx}v_x-\frac{u_{xy}u_{yy}}{v_x}, v_y=-\frac{u_{xy}}{v_x}$ (2) і бездисперсійний відповідник $p_t=(h^1p)_x+(h^2p)_y, h^1_y=p_x, h^2_x=p_y$ (3) симетричної системи Нижника, який є потенціальною системою для рівняння (1). У розділі 1 досліджено симетрійні властивості рівняння (1) та систем (2) і (3). Зокрема, знайдено їх максимальні алгебри ліївської інваріантності $\mathfrak g$, $\mathfrak g_{\rm L}$, $\mathfrak g_{\rm dN}$, а також максимальну алгебру $\mathfrak g_{\rm c}$ контактних симетрій рівняння (1). Застосовуючи оригінальну версію алгебраїчного методу на основі мегаідеалів, обчислено псевдогрупи точкових симетрій $G$, $G_{\rm L}$, $G_{\rm dN}$ відповідно для рівняння (1) та систем (2), (3), а також псевдогрупу контактних симетрій $G_{\rm c}$ рівняння (1). Виявилося, що необхідна алгебраїчна умова, яка є основою методу, повністю визначає псевдогрупу $G$, а тому для завершення її обчислення не потрібно використовувати прямий метод. Це перший приклад такого роду в літературі. Окрім того доведено, що псевдогрупа $G$ містить рівно три незалежні дискретні елементи, а псевдогрупа $G_{\rm c}$ є першим продовженням псевдогрупи $G$. Обчислення псевдогрупи $G_{\rm c}$ є першим прикладом застосування версії алгебраїчного методу на основі мегаідеалів для знаходження псевдогрупи контактних симетрій диференціального рівняння. Описано всі диференціальні рівняння третього порядку з трьома незалежними змінними, які інваріантні відносно алгебри $\mathfrak g$. Знайдено повний набір геометричних властивостей рівняння (1), що виокремлюють його з усього класу диференціальних рівнянь із частинними похідними третього порядку з трьома незалежними змінними. У розділі 2 вичерпно вивчено ліївські редукції рівняння (1) і побудовано широкі сім’ї його інваріантних розв’язків. Вперше представлено точний формалізований опис повної оптимізованої процедури ліївської редукції у випадку системи рівнянь із частинними похідними з трьома незалежними змінними, релевантному для рівняння (1). Використовуючи результати розділу 1, прокласифіковано одно- та двовимірні підалгебри алгебри $\mathfrak g$ і одновимірні підалгебри алгебри $\mathfrak g_{\rm L}$ з точністю до $G$- і $G_{\rm L}$-еквівалентності, відповідно. Замість стандартного підходу, що ґрунтується на знаходженні і використанні внутрішніх автоморфізмів алгебр Лі, розглянуто дію псевдогрупи $G$ на алгебру $\mathfrak g$, яку знайдено через підняття векторних полів з $\mathfrak g$ елементами псевдогрупи $G$. Вперше обчислено групи точкових симетрій редукованих рівнянь, включно з їх дискретними точковими симетріями, і в усіх випадках перевірено, чи є ці симетрії або прихованими, або індукованими. Оскільки більшість розглянутих редукованих рівнянь є досить громіздкими, різні версії алгебраїчного методу набагато ефективніші для таких обчислень, ніж прямий метод. Крім того, деякі редуковані рівняння для рівняння (1) не є максимального рангу. Отже, зазначений аналіз редукованих рівнянь є, зокрема, першим в літературі явним і систематичним дослідженням ліївських та загальних точкових симетрій диференціальних рівнянь, які не є максимального рангу. У результаті широкі сім’ї нових інваріантних розв’язків рівняння (1) побудовано у явному вигляді в термінах елементарних функцій, функцій Ламберта та гіпергеометричних функцій, а також у параметричній або неявній формах. Оскільки будь-яка функція вигляду $u=w(t,x)+\tilde w(t,y)$, що відповідає адитивному розділенню змінних $x$ та $y$, є розв’язком рівняння (1), таке розділення змінних тривіальне для цього рівняння. Тому для пошуку неліївських розв’язків рівняння (1), які узагальнюють деякі його інваріантні розв’язки, застосовано мультиплікативне розділення змінних $x$ та $y$, анзац для якого має вигляд $u=\varphi(t,x)\psi(t,y)$ з $\varphi_x\ne0$ і $\psi_y\ne0$. Отримані результати показують, що ще більше розв’язків рівняння (1) в деякій замкненій формі можна побудувати, використовуючи інші методи симетрійного аналізу диференціальних рівнянь. Дата реєстрації 2024-10-16 Додано в НРАТ 2024-10-16 Закрити