Search academic texts

Registration Number

0825U002801, PhD dissertation

Status

Доктор філософії, 111, Математика

Date

04-08-2025

popup.evolution

o

Title

Differential geometry of bundles with generalized metrics

Author

Liana Lotarets,

popup.head Oleksandr Yampolskiy
popup.opponent Volodymyr Kiosak
popup.opponent Oleksandr Savchenko
popup.opponent Oleksandr Pryshliak
popup.review Olesia Zavarzina

Description

Дисертацiю присвячено дослiдженню метрик розшарованих просторів, їхнiх властивостей, та їх узагальнень на більш широкий клас метрик які призводять до iншої геометрiї в шарах i всьому дотичному розшаруваннi. Природною метрикою на дотичному розшаруванні є метрика Сасакі, геометричні властивості якої добре відомі. Насправді ж загалом метрика Сасакі має лише властивості загальної ріманової метрики, бо на шарах метрика Сасакі співпадає з метрикою базового многовиду. Але можна узагальнити визначення метрики Сасакі, дозволивши метриці на шарах відрізнятися від базової. Головним питанням, яким займалися і займаються багато відомих математиків, є: як саме нова деформована метрика Сасакі змінює геометрію дотичного розшарування? Метою дослідження є виявлення залежностей геометричних властивостей загальних векторних розшарувань від метрики на розшарованому просторі, а також знаходження зв’язку між властивостями базового многовиду і шарів загального розшарування, вивчення геометричних властивостей перерізів загального розшарування для різних типів узагальнених метрик. Об’єктом дослідження є геометричні властивості дотичних розшарувань ріманових многовидів та їх перерізів з різними деформаціями метрики Сасакі. Предметами дослiдження є узагальнення метрики Сасакі, геодезичні лінії дотичного розшарування, особливості сасакієвого многовиду, а також гармонічні, мінімальні та цілком геодезичні векторні поля. Завданнями дослiдження є: 1) узагальнення сигар солітонної метрики на дотичне розшарування; 2) дослідження геодезичних ліній дотичного розшарування з пошарово сигар солiтонною метрикою; 3) дослідження гармонічних одиничних векторних полів на одиничному дотичному розшаруваннi зі скрученою метрикою Сасакi; 4) класифікація лівоінваріантних гармонічних одиничних векторних полів, які визначають гармонічні відображення у випадку вертикально масштабованої метрики на одиничному дотичному розшаруваннi; 5) знаходження виразу для другої основної форми підмноговиду, що задається одиничним векторним полем, в одиничному дотичному розшаруванні ріманового многовиду з g-натуральною метрикою; 6) знаходження умов, за яких відображення що задається одиничним векторним полем, в одиничному дотичному розшаруванні ріманового многовиду з g-натуральною метрикою може бути цілком геодезичним. Для дослідження використано методи диференціальної геометрії, ріманової геометрії, диференціальних рівнянь, математичного аналізу, лінійної алгебри, теорії груп та алгебр Лі. Роздiл 1 дисертацiйної роботи присвячено базовим відомостям з геометрії розшарованих просторів, а також огляду літератури. Наведено базові відомості з геометрії дотичного розшарування та одиничного дотичного розшарування, контактних многовидів, метрики Сасакі, векторних полів на рімановому многовиді як відображень та підмноговидів. Зроблено огляд таких понять, як гармонiчнiсть, мiнiмальнiсть i цiлком геодезичнiсть векторного поля та вiдображення. Роздiл 2 дисертацiйної роботи присвячено узагальненю сигар солiтонної метрики Річарда Гамiльтона як деформації метрики Сасакi на дотичному розшаруванні ріманова многовиду. У дисертаційній роботi вперше було досліджено узагальнення метрики сигар солітона Гамільтона, що є двовимірним многовидом, як метрики на дотичному розшаруванні. Було вперше введено поняття "пошарово сигар солiтонної деформацiї метрики Сасакi" (або "пошарово гамiльтонової сигар солiтонної метрики") і досліджено геодезичні лінії дотичного розшарування з такою метрикою. Роздiл 3 дисертацiйної роботи присвячено вивченню гармонічних одиничних векторних полів на одиничному дотичному розшаруваннi зі скрученою метрикою Сасакi. У дисертаційній роботi вперше було описано деформації які зберігають існування гармонічних ліво-інваріантних одиничних векторних полів на тривимірних унімодулярних групах Лі з ліво-інваріантною метрикою та гармонічних відображень, які задаються одиничним векторним полем, у випадку скрученої метрики Сасакі на одиничному дотичному розшаруванні, а також вперше було класифіковано такі векторні поля та відображень у випадку вертикально масштабованої метрики. Роздiл 4 дисертацiйної роботи присвячено вивченню випадку, коли непаралельне одиничне векторне поле на рімановому многовиді визначає iзометричне занурення з рімановою g-натуральною метрикою на одиничному дотичному розшаруванні. У дисертаційній роботi вперше було досліджено цiлком геодезичність непаралельних одиничних векторних полiв, що визначають iзометричне вкладення, на K-контактному метричному многовиді з g-натуральною метрикою на одиничному дотичному розшаруванні. Також вперше було отримано вираз для другої основної форми відображення, що задається одиничним векторним полем на рімановому многовиді з g-натуральною метрикою на одиничному дотичному розшаруванні. Практичним значенням отриманих результатів є доповнення наявних результатів з геометрії розшарованих просторів.

popup.nrat_date

2025-07-09