Реєстраційний номер
0523U100127, Докторська дисертація
На здобуття
Доктор фізико-математичних наук
Дата захисту
07-07-2023
Статус
Захищена
Назва роботи
Iнтерполяцiя операторiв в гiльбертових та евклiдових просторах
Здобувач
Кашпур Олена Федорівна, Кандидат фізико-математичних наук
Керівник Хлобистов Володимир Володимирович
Консультант Хлобистов Володимир Володимирович
Опонент Хапко Роман Степанович
Опонент Касьянов Павло Олегович
Опонент Попов Олександр Володимирович
Рецензент Семенов Володимир Вікторович
Рецензент Хусаінов Денис Ях'євич
Рецензент Рубльов Богдан Владиславович
Установа, організація, у вченій раді якої відбудеться/відбувся захист
Інститут кібернетики імені В. М. Глушкова Національної академії наук України
Опис
Дисертація присвячена дослідженню та розв'язанню операторних інтерполяційних задач типу Лагранжа, Ерміта, Ерміта-Біркхофа, одержанню оцінок точності інтерполяційних формул у випадку збуреної вихідної інформації про оператор, що апроксимуємо, та дослідженню збіжності інтерполяційних процесів у гільбертовому просторі з мірою, розв'язанню інтерполяційних задач в умовах недовизначеності в скінченновимірному евклідовому просторі, знаходженню умов існування єдиного розв'язку та інваріантної розв'язуваності задачі інтерполяції.
Дисертація складається зі вступу, п'яти розділів, списку використаних джерел та додатків.
У першому розділі розглянуто постановки задач інтерполяції операторів та проведено аналіз літературних джерел за темою дисертаційних досліджень.
У другому розділі для інтерполяційної задачі Лагранжа в абстрактному гільбертовому просторі показано, що в загальному випадку відсутня збіжність інтерполяційного процесу до поліноміального оператора, але лінійний інтерполяційний процес є збіжним. Доведено, що в сепарабельному гільбертовому просторі з гаусовою мірою похибка інтерполяції може бути зроблена як завгодно малою величиною. У випадку, коли вузли інтерполяції обрано певним чином доведено, що інтерполяційний процес є збіжним. У гільбертовому просторі з мірою побудовано інтерполяційні формули Лагранжа для нелінійного оператора та показано, що інтерполянти є асимптотично інваріантними щодо поліномів відповідного степеня. Ці формули є набагато простішими за конструкцією побудови. Знайдено оцінки точності інтерполяції поліноміального та цілого операторів у випадку збуреної вихідної інформації та одержано кількість інтерполяційних вузлів, перевищення якої не покращує точності інтерполяційних формул. Проведено аналіз точності для поліноміальних та цілих функціоналів, що визначені на просторах L_2(0,1) та W_1^2(0,π) у разі наближеного обчислення скалярних добутків, що присутні в інтерполяційних формулах.
Знайдено умови інваріантної розв'язуваності інтерполяційної задачі Лагранжа для функції багатьох змінних в умовах недовизначеності. При цьому показано, що розв'язок задачі є єдиним та має мінімальну норму серед усіх інтерполянтів при фіксованих інтерполяційних умовах. У лінійному нескінченновимірному просторі зі скалярним добутком та в скінченновимірному евклідовому просторі досліджена точність формули Лагранжа на поліномах відповідного степеня. Показано, що ця інтерполяційна формула містить фундаментальні поліноми Лагранжа.
У третьому розділі в лінійному топологічному просторі для оператора однієї змінної знайдено умови існування континуальних вузлів для інтерполяційного поліному інтегрального вигляду. Наведено узагальнення інтерполяційних поліномів для операторів багатьох змінних в сенсі визначення умов, за яких має місце континуальність відповідної множини вузлів. Розглянуто приклади таких інтерполянтів.
У четвертому розділі у гільбертовому просторі з мірою побудовано інтерполяційний поліном типу Ерміта у випадку, коли задані значення оператора та його перші диференціали Гато у вузлах, що обрані певним чином. Доведено, що інтерполянт має мінімальну норму на множині інтерполянтів типу Ерміта з фіксованими інтерполяційними. Для поліноміального оператора побудовано інтерполяційні формули типу Ерміта, Ерміта-Біркхофа та наведено інтерполянт Абеля-Гончарова, які є асимптотично точними на поліномах відповідного степеня. Наявність оцінок точності дозволяє застосовувати такі інтерполянти для наближення поліноміальних, цілих та диференційованих операторів. Узагальнено теорему про інтерполянт мінімальної норми на випадок, коли задані диференціали Гато до певного порядку у вузлах інтерполяції. Розглянуто питання про точність та збіжність інтерполяційного процесу до поліноміального оператора.
Розглянуто інтерполяційні задачі Ерміта в скінченновимірному евклідовому просторі у випадку, коли задано значення функції багатьох змінних та значення її диференціалів Гато до першого та до другого порядків відповідно у вузлах інтерполяції в умовах недовизначеності. Показано, що задачі мають єдиний розв'язок мінімальної норми та одержано умови інваріантної розв'язуваності задачі.
У нормованому нескінченновимірному лінійному та в скінченновимірному евклідовому просторах показано, що інтерполяційний поліном Ерміта мінімальної норми містить фундаментальні поліноми. Досліджено точність інтерполяційних формул Ерміта на поліномах відповідного степеня. Доведені теореми проілюстровано прикладами. В гільбертовому просторі з мірою доведено теорему про інтерполяційний поліном мінімальної норми типу Ерміта-Біркхофа.
У п'ятому розділі знайдено нові критерії сумісності лiнiйної системи рівнянь (еквівалентні теоремі Кронекера-Капеллi) та нерівностей (еквівалентні теоремі С.М.Чернікова), що пов'язані з умовами існування лінійного інтерполяційного полінома в евклідових просторах. Знайдено умови існування розв'язку систем нелінійних (поліноміальних) рівнянь. Розглянуто приклади розв'язання задач із застосуванням одержаних результатів.
Дата реєстрації
2023-07-18
Додано/оновлено в НРАТ
2023-07-18 / 2026-07-01
